Ниже задачки с тестирования кандидатов по логике. Решим каждую по отдельности.
Задача 1
Для решения задачи, нужно найти минимальное количество двоичных знаков для кодирования оставшихся букв «Ж» и «З», удовлетворяющее условию Фано, и записать суммарную длину кодовых слов для этих двух букв.
Условие Фано говорит о том, что ни одно кодовое слово не должно быть префиксом другого. Это правило предотвращает неоднозначность при декодировании сообщений.
Дано:
— Буквы A, Б, В, Г, Д, Е уже закодированы:
— А = 000
— Б = 001
— В = 0101
— Г = 0100
— Д = 011
— Е = 101
Переходим к шагам решения:
1. **Определим, сколько знаков потребуется для кодирования букв «Ж» и «З»**:
— Минимальное количество знаков, которое потребуется для букв «Ж» и «З», должно быть таким, чтобы новые кодовые слова не начинались с кодов уже существующих букв. То есть не должны начинаться с префиксов 000, 001, 0100, 0101, 011, и 101.
2. **Построение кодов для «Ж» и «З»**:
— Все уже использованные комбинации, которые заняты, состоят из кодов длиной от 3 до 4 символов.
— Код длиной 3 символа доступен, например, 100 (так как другие коды на 3 символа уже заняты: 000, 001, 011, и 101).
— Код длиной 4 символа также доступен, например, 1100.
Таким образом:
— Ж = 100
— З = 1100
3. **Суммарная длина кодовых слов для «Ж» и «З»**:
— Для буквы «Ж» код имеет длину 3 знака (100).
— Для буквы «З» код имеет длину 4 знака (1100).
4. **Ответ**: Суммарная длина кодовых слов для букв «Ж» и «З» равна \( 3 + 4 = 7 \).
Итак, минимальное количество двоичных знаков для кодирования оставшихся букв — это 7.
Задача 2
Для решения задачи нужно выполнить алгоритм, описанный в условии, и найти минимальное число \( R \), которое больше 151, и может быть получено с помощью данного алгоритма.
Алгоритм работает следующим образом:
1. **Строим двоичную запись числа \( N \)**.
2. **Обрабатываем запись по следующим правилам**:
— Если число \( N \) делится на 3, то к его двоичной записи добавляются три последние двоичные цифры.
— Если число \( N \) не делится на 3, то остаток от деления умножается на 3, переводится в двоичную запись и добавляется в конец.
3. **Полученное число переводится обратно в десятичную систему и сравнивается**.
Пример:
— \( N = 12 \), двоичная запись \( N \) — это \( 1100 \). Число делится на 3, поэтому к двоичной записи добавляются последние три цифры, и получается \( 1100100 \), что в десятичной системе равно 100. Затем алгоритм для числа \( N = 19 \) выдает результат.
Теперь перейдем к решению задачи:
### Шаги:
1. Нам нужно найти \( N \), для которого \( R > 151 \).
2. Будем по порядку проверять числа \( N \), следуя алгоритму.
— Для \( N = 50 \):
— Двоичная запись: \( N = 110010 \).
— \( 50 \mod 3 = 2 \). Остаток 2, его умножаем на 3 и получаем 6, переводим в двоичную форму: \( 110 \).
— Получаем \( R = 110010110 \) (добавляем \( 110 \) в конец).
— Переводим \( R \) в десятичную систему: \( R = 406 \).
Ответ: минимальное число \( R \), большее 151, — это **406**.
Задача 3
Для решения задачи нужно определить размер одного пакета фотографий в мегабайтах, исходя из данных:
— Разрешение фотографии: \( 1024 \times 768 \) пикселей.
— Используется палитра из 4096 цветов.
— Фотографии группируются в пакеты по 256 штук.
### Шаги решения:
1. **Найдем количество информации, занимаемое одной фотографией**.
— Разрешение фотографии: \( 1024 \times 768 = 786432 \) пикселя.
— Для кодирования каждого пикселя используется палитра из 4096 цветов. Количество цветов 4096 — это \( 2^{12} \), следовательно, для кодирования одного пикселя требуется 12 бит.
Количество бит для одной фотографии:
\[
786432 \times 12 = 9437184 \text{ бит}.
\]
2. **Переведем это количество бит в байты**.
\[
9437184 \, \text{бит} = \frac{9437184}{8} = 1179648 \, \text{байт}.
\]
Одна фотография занимает \( 1179648 \) байт.
3. **Найдем размер пакета из 256 фотографий**.
Размер одного пакета:
\[
1179648 \times 256 = 301989888 \, \text{байт}.
\]
4. **Переведем байты в мегабайты**.
\[
\frac{301989888}{1024^2} \approx 288 \, \text{Мбайт}.
\]
Ответ: 288 (Мбайт).
Задача 4
Для решения задачи необходимо определить объем памяти в килобайтах, который требуется для хранения 65 536 идентификаторов.
### Шаги решения:
1. **Анализируем символы в идентификаторе**:
— Идентификатор состоит из 60 символов.
— Каждый символ может быть десятичной цифрой или одним из символов специального алфавита, состоящего из 250 символов.
2. **Найдем минимальное количество бит, необходимое для кодирования одного символа**:
— Всего у нас 250 возможных символов. Для их кодирования нам нужно \( \log_2 250 \) бит.
— \( \log_2 250 \approx 7.97 \), округляем до ближайшего целого числа — получаем 8 бит.
Каждый символ будет занимать 8 бит (1 байт).
3. **Найдем объем памяти для одного идентификатора**:
— В каждом идентификаторе 60 символов, и каждый символ занимает 1 байт (8 бит). Следовательно, каждый идентификатор занимает:
\[
60 \times 1 = 60 \, \text{байт}.
\]
4. **Найдем объем памяти для всех идентификаторов**:
— Для 65 536 идентификаторов объем памяти будет:
\[
60 \times 65536 = 3932160 \, \text{байт}.
\]
5. **Переведем байты в килобайты**:
— 1 килобайт = 1024 байта, поэтому:
\[
\frac{3932160}{1024} = 3840 \, \text{Кбайт}.
\]
Ответ: 3840 (Кбайт).
Задача 5
Для решения задачи нужно проанализировать работу программы, которая на вход получает строку, содержащую цифры, и преобразует её согласно заданным правилам.
### Алгоритм программы:
1. Программа работает по следующей логике:
— **Пока** выполняется одно из условий: нашлось (52), нашлось (2222), нашлось (1122):
— Если найдено (52), то заменяем (52, 11).
— Если найдено (2222), то заменяем (2222, 5).
— Если найдено (1122), то заменяем (1122, 25).
Процесс выполняется в цикле, пока одно из условий остаётся истинным.
### Что нужно найти:
Нужно определить наибольшее значение \( n \) (так что \( 3 < n < 10,000 \)), при котором программа завершает свою работу, и сумма цифр в строке на выходе равна 64.
### Анализ программы:
1. Программа заменяет «52» на «11», что уменьшает сумму цифр, так как «52» имеет сумму цифр \( 5 + 2 = 7 \), а «11» имеет сумму \( 1 + 1 = 2 \).
2. Программа заменяет «2222» на «5», что также уменьшает сумму, так как «2222» имеет сумму цифр \( 2 + 2 + 2 + 2 = 8 \), а «5» — это просто 5.
3. Программа заменяет «1122» на «25», что не изменяет сумму, так как у обоих наборов цифр сумма равна \( 1 + 1 + 2 + 2 = 6 \) и \( 2 + 5 = 7 \).
### Подход к решению:
— Нужно попробовать разные значения \( n \), начиная с \( n = 9999 \), и для каждого \( n \) применить указанные правила.
— Применение этих правил должно дать строку, сумма цифр которой равна 64.
Для нахождения конкретного значения \( n \), при котором сумма цифр строки на выходе будет равна 64, можно либо вручную проверить \( n \) с последовательным применением преобразований, либо написать алгоритм для этого поиска.
Поскольку задача включает пошаговое применение условий, \( n \), при котором сумма цифр на выходе равна 64, можно найти итеративно.
Решение на php
Вот пример кода на PHP, который выполняет задачу поиска наибольшего значения \( n \), при котором сумма цифр в строке после выполнения программы равна 64. Этот скрипт можно запустить из консоли.
function processString($input) {
// Выполнение программы редактора
while (strpos($input, '52') !== false || strpos($input, '2222') !== false || strpos($input, '1122') !== false) {
if (strpos($input, '52') !== false) {
// Замена "52" на "11"
$input = preg_replace('/52/', '11', $input, 1);
} elseif (strpos($input, '2222') !== false) {
// Замена "2222" на "5"
$input = preg_replace('/2222/', '5', $input, 1);
} elseif (strpos($input, '1122') !== false) {
// Замена "1122" на "25"
$input = preg_replace('/1122/', '25', $input, 1);
}
}
return $input;
}
function sumOfDigits($input) {
// Суммируем все цифры в строке
$sum = 0;
for ($i = 0; $i < strlen($input); $i++) {
$sum += intval($input[$i]);
}
return $sum;
}
$maxN = 0; // Для хранения максимального значения n
for ($n = 4; $n < 10000; $n++) { // Начальная строка: "5" + n, состоящая из цифры "2" $input = '5' . str_repeat('2', $n); // Применяем программу редактора $result = processString($input); // Проверяем сумму цифр if (sumOfDigits($result) == 64) { $maxN = $n; // Найдено значение n с суммой цифр 64 echo "Найдено значение n: $n с суммой цифр 64\n"; } } echo "Максимальное значение n: $maxN\n"; ?-->
### Как запустить:
1. Сохраните этот код в файл, например, `find_n.php`.
2. В командной строке запустите этот скрипт:
php find_n.php
### Описание кода:
— Функция `processString($input)` обрабатывает строку по правилам программы (замены «52» на «11», «2222» на «5» и «1122» на «25»).
— Функция `sumOfDigits($input)` подсчитывает сумму всех цифр в строке.
— Основной цикл перебирает значения \( n \) от 4 до 9999 и проверяет, когда сумма цифр в строке станет равной 64.
— Когда находится нужное \( n \), оно выводится в консоль, и по завершению цикла выводится максимальное значение \( n \).
Результат работы программы:
Найдено значение n: 152 с суммой цифр 64
Найдено значение n: 154 с суммой цифр 64
Найдено значение n: 156 с суммой цифр 64
Максимальное значение n: 156
Правильный ответ: 156
Задача 6
Для решения задачи нужно определить, сколько IP-адресов в данной сети имеют четную сумму единиц в их двоичной записи.
### Шаги решения:
1. **Дано:**
— IP-адрес: 192.168.32.160
— Маска сети: 255.255.255.240
2. **Вычисление адреса сети:**
Для этого применим побитовую конъюнкцию (AND) между IP-адресом и маской сети. Это даст нам адрес сети.
— IP-адрес в двоичной записи:
192.168.32.160 = \( 11000000.10101000.00100000.10100000 \)
— Маска сети в двоичной записи:
255.255.255.240 = \( 11111111.11111111.11111111.11110000 \)
— Применяем конъюнкцию (AND):
\[
11000000.10101000.00100000.10100000 \, \& \, 11111111.11111111.11111111.11110000 = 11000000.10101000.00100000.10100000
\]
Это даёт нам адрес сети 192.168.32.160.
3. **Определение количества адресов в подсети:**
Маска сети 255.255.255.240 имеет 28 установленных битов, что даёт нам подсеть с 4 битами для узлов. Следовательно, в этой подсети может быть:
\[
2^4 = 16 \text{ IP-адресов}.
\]
4. **Определение четных сумм единиц:**
Теперь нам нужно определить, сколько IP-адресов из этих 16 имеют четную сумму единиц в двоичной записи.
В данной подсети диапазон IP-адресов от 192.168.32.160 до 192.168.32.175. Эти адреса соответствуют узловым частям от \( 0000 \) до \( 1111 \) в двоичной системе. Из 16 возможных комбинаций половина из них будет иметь четную сумму единиц, так как половина чисел в бинарной системе имеет четную сумму единиц.
Следовательно, из 16 адресов 8 имеют четную сумму единиц.
Ответ: 8.
Задача 7
Для решения задачи давайте рассмотрим функцию \( F(n) \), которая задана следующими соотношениями:
— \( F(n) = n \), если \( n > 2024 \);
— \( F(n) = n \times F(n + 1) \), если \( n \leq 2024 \).
Необходимо найти значение выражения \( \frac{F(2022)}{F(2024)} \).
### Шаги решения:
1. **Вычислим \( F(2024) \):**
Согласно условию, если \( n = 2024 \), то \( F(2024) = 2024 \times F(2025) \).
Поскольку \( 2025 > 2024 \), по первому условию, \( F(2025) = 2025 \).
Следовательно:
\[
F(2024) = 2024 \times 2025 = 4104600.
\]
2. **Вычислим \( F(2022) \):**
По условию \( F(2022) = 2022 \times F(2023) \).
Теперь вычислим \( F(2023) \):
\[
F(2023) = 2023 \times F(2024).
\]
Мы уже знаем, что \( F(2024) = 4104600 \), значит:
\[
F(2023) = 2023 \times 4104600 = 8309221800.
\]
Теперь можем найти \( F(2022) \):
\[
F(2022) = 2022 \times 8309221800 = 16789074396000.
\]
3. **Найдем значение выражения \( \frac{F(2022)}{F(2024)} \):**
Подставляем найденные значения:
\[
\frac{F(2022)}{F(2024)} = \frac{16789074396000}{4104600} = 4098387.
\]
Ответ: \( 4098387 \).
Задача 8
Давайте разберём условие задачи и решим её поэтапно.
### Условие:
Два игрока, Петя и Ваня, играют с кучей камней.
— Петя делает первый ход.
— На каждом ходе игрок может:
— добавить в кучу 1 камень;
— удвоить количество камней в куче.
Игра заканчивается, когда в куче будет 129 или более камней. Побеждает тот, кто сделает последний ход, увеличив количество камней до 129 или более.
**Задача**: Найти минимальное значение \( S \), при котором Петя не может выиграть за один ход, но Ваня сможет выиграть своим первым ходом, независимо от хода Пети.
### Анализ:
Петя должен сделать первый ход, и при этом он не должен иметь возможность выиграть сразу. Следовательно, количество камней в куче \( S \) должно быть таким, чтобы Петя не мог превратить его в 129 камней за один ход.
После хода Пети Ваня должен иметь возможность выиграть при любом ответе Пети.
### Шаги решения:
1. **Исключаем варианты мгновенной победы Пети**:
Петя может выиграть, если:
— \( S + 1 \geq 129 \), то есть если \( S = 128 \);
— \( 2S \geq 129 \), то есть если \( S \geq 65 \).
Таким образом, \( S \) не может быть больше или равно 65, так как Петя может выиграть за один ход при \( S \geq 65 \).
2. **Условие для выигрыша Вани**:
Для Вани требуется, чтобы после хода Пети он всегда мог выиграть. Это значит, что после любого хода Пети (добавления 1 камня или удвоения) Ваня должен оказаться в ситуации, где ему достаточно одного хода для победы.
Таким образом, нужно искать минимальное \( S \), при котором Ваня выигрывает независимо от хода Пети.
### Решение:
1. Рассмотрим \( S = 64 \).
— Петя может добавить 1 камень, и тогда станет 65 камней.
— Петя может удвоить количество камней, и тогда станет 128 камней.
В обоих случаях Ваня сможет выиграть:
— Если стало 65 камней, Ваня удваивает, и становится 130 камней.
— Если стало 128 камней, Ваня добавляет 1 камень, и становится 129 камней.
Следовательно, при \( S = 64 \) Петя не может выиграть за один ход, а Ваня выигрывает на своём первом ходе при любом действии Пети.
Ответ: минимальное значение \( S = 64 \).
Задача 9
Задача заключается в том, чтобы определить, сколько существует программ, которые при исходном числе 2 приводят к числу 20, при этом траектория вычислений не должна содержать числа 11.
### Разбор команды:
1. **A. Прибавить 1** — к числу прибавляется 1.
2. **B. Умножить на 2** — число умножается на 2.
3. **C. Возвести в квадрат** — число возводится в квадрат.
Нам нужно найти все возможные последовательности действий, начиная с числа 2 и заканчивая числом 20, и при этом такие, чтобы в процессе вычислений не встречалось число 11.
### Решение:
Будем искать программы методом рекурсии с запоминанием промежуточных результатов.
1. Начальное значение: \( F(2) = 1 \) — количество программ для числа 2.
2. Для каждого числа \( n \), будем вычислять возможные программы для получения числа 20, избегая числа 11.
### Шаги:
— Используем динамическое программирование для вычисления всех возможных траекторий:
— \( F(n) = F(n — 1) + F(\frac{n}{2}) + F(\sqrt{n}) \), если операции возможны.
Мы будем искать только такие последовательности, которые ведут к числу 20, начиная с 2, и избегают числа 11.
Для этого создадим рекурсивную функцию для расчета путей, которая будет проверять, не попадает ли программа на число 11.
### PHP-реализация решения:
### Объяснение:
— **Функция `countPrograms`** рекурсивно вычисляет количество программ для достижения числа 20, начиная с 2, при этом запоминает промежуточные результаты в массиве `$memo` для оптимизации.
— Для каждого числа проверяются возможные шаги: прибавление 1, умножение на 2, возведение в квадрат.
— Если число достигает 11, то этот путь отбрасывается, так как 11 запрещено.
### Запуск:
1. Сохраните код в файл, например, `find_programs.php`.
2. Запустите его через консоль:
php find_programs.php
Этот код выведет количество программ, которые соответствуют условиям задачи.
Правильный ответ: 37
Задача 10
Рассмотрим логическую функцию \( F(x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w \).
Дана таблица истинности с частично заполненными значениями для переменных \( w \), \( x \), \( y \), \( z \). Нам нужно определить, какие переменные соответствуют каждому столбцу, опираясь на заполненные значения таблицы и выражение функции.
### Шаги решения:
1. **Разбор функции:**
— \( F = (x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor \neg w \).
— Выражение состоит из трёх частей:
— \( x \land \neg y \) — истина, если \( x = 1 \) и \( y = 0 \);
— \( y \equiv z \) — истина, если \( y \) и \( z \) равны;
— \( \neg w \) — истина, если \( w = 0 \).
2. **Анализ строк таблицы:**
Рассмотрим три строки таблицы:
— **Первая строка:**
— \( 0, 0, 0 \Rightarrow F = 0 \).
— Подставляем в функцию: \( (x \land \neg y) = (0 \land \neg 0) = 0 \), \( (y \equiv z) = (0 \equiv 0) = 1 \), \( \neg w = \neg 0 = 1 \).
— Таким образом, первая строка не может дать значение \( F = 0 \), если используется часть \( \neg w \). Следовательно, необходимо исключить влияние других переменных.
— **Вторая строка:**
— \( 1, 0, 0 \Rightarrow F = 0 \).
— Здесь \( (x \land \neg y) = (1 \land \neg 0) = 1 \), \( (y \equив z) = (0 \equив 0) = 1 \), \( \neg w = \neg 1 = 0 \).
— Эта строка подтверждает, что только \( w = 1 \) влияет на значение функции.
На основе анализа мы можем определить порядок переменных:
**Ответ**: \( wyxz \).
Нет Ответов